UNIDAD 1.- Nociones de Lógica Matemática.
Definiciones. Proposiciones Válidas. Tablas de Verdad. Demostraciones Directas. Cuantificadores. Implicaciones. Demostraciones Indirectas.
UNIDAD 2.- Conjuntos y Funciones.
Definiciones básicas: Conjunto. Pertenencia. Subconjunto y subconjunto propio. Descripción de conjuntos. Conjuntos de números: Naturales y enteros. Racionales e irracionales. Reales. Operaciones con conjuntos: Unión e intersección. Diferencia y diferencia simétrica. Conjunto Universo y complemento de un conjunto. Diagramas de Venn. Los números reales: Axiomas de los números reales. Desigualdades. Propiedades básicas. Resolución de desigualdades lineales. Intervalos. Los Números Complejos: Introducción. Operaciones fundamentales con números complejos. Conjugado complejo. Representación gráfica de números complejos. Representación esférica de números complejos. Representación polar de números complejos. Representación exponencial de números complejos. Teorema de Moivre. Producto punto y producto cruz. Ecuaciones polinomiales. El Plano Cartesiano: Pareja ordenada. Algebra de parejas ordenadas. Representación geométrica de parejas ordenadas. Ley del paralelogramo. Resolución de desigualdades con dos incógnitas: Conjunto solución. Representación geométrica del conjunto solución. Relaciones: Producto cartesiano y su representación geométrica. Definición de relación. Dominio y codominio de una relación. Gráfica de una relación. Funciones: definición de función. Dominio, codominio, imagen, preimagen, imagen inversa. Clasificación de funciones: Inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, etc. Gráfica de una función. Algebra de funciones, composición de funciones e inversa de una función. Resolución de desigualdades con valor absoluto: Conjunto solución. Representación geométrica del conjunto solución. Vecindades.
UNIDAD 3.- Estructuras Algebraicas.
Operaciones en Conjuntos. Subgrupo. Grupo. Anillo. Campo. Polinomios.
UNIDAD 4.- Vectores en Rn.
Introducción. Representación de vectores en Rn. Suma vectorial. Producto por un escalar. Producto escalar de dos vectores y ortogonalidad. Norma. Dirección. Distancia. Proyección. Descomposición ortogonal de vectores. Producto vectorial en R3. Notación i,j,k en R3. Dependencia lineal. Combinación lineal. Rectas, planos, hiperplanos
UNIDAD 5.- Matrices y Determinantes.
Matrices: Introducción. Definición de matrices. Suma de matrices. Producto por un escalar. Producto de matrices. Traspuesta de una matriz. Matrices escalonadas. Matrices por bloques. Matrices complejas. Matrices cuadradas. Equivalencia por filas. Operaciones elementales entre filas. Matrices elementales correspondientes a operaciones entre filas. Equivalencia por columnas. Operaciones elementales entre columnas. Matrices elementales correspondientes a operaciones entre columnas. Matrices simétricas congruentes. Formas cuadráticas. Similaridad. Factorización LU. Determinantes: Introducción. Permutaciones. Determinantes de ordenes uno, dos y tres. Determinantes de orden arbitrario. Definición. Determinantes de orden arbitrario. Propiedades. Menores y cofactores. Adjunto clásico. Submatrices. Menores generales. Menores principales. Determinantes y matrices por bloques. Determinantes y volumen. Determinantes y multilinealidad.
UNIDAD 6.- Sistemas de Ecuaciones Algebraicas Lineales.
Introducción. Ecuaciones lineales con dos incógnitas. Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones lineales y vectores. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales y determinantes.
UNIDAD 7.- Cálculo Diferencial e Integral de Funciones Reales.
Sucesiones. Límites. Continuidad. Derivada de una función real y fórmulas de derivación. Aplicaciones de la derivada. Integración.
UNIDAD 8.- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Ecuaciones de 1er y 2do orden: Lineales y no lineales. Homogéneas y no homogéneas. Con coeficientes constantes y variables. Solución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes: Polinomio característico y clasificación de sus raíces. Solución complementaria y particular. Solución general. Ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes: Polinomio característico y clasificación de sus raíces. Solución complementaria y particular. Solución general
Bibliografía:
- Teoría de conjuntos y temas Afines. Lipschutz, Schaum, McGraw-Hill, 1988.
- Análisis matemático, vol. 1. Haaser, LaSalle y Sullivan, Ed. Trillas, 1970.
- Algebra Lineal. Lipschutz, Schaum, McGraw-Hill, 1981.
- Variable Compleja. Spiegel. Schaum, McGraw-Hill, 1981.
- Señales y sistemas lineales. R.A. Gabel y R.A. Roberts, Ed. Limusa, 1975.
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Dr. Alejandro Rodríguez Palacios
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